Movimiento Circular

MOVIMIENTO CIRCULAR

Cuando un cuerpo gira al rededor de un eje, sus puntos(particulas) describe trayectorias circulares en planos perpendiculares al eje.El movimiento realizado por estas particulas se denomina movimiento circular.

El analisis del movimiento circular se facilita si se hace coincidir el origen del sistema de referencia con el centro de la trayectoria:

Mientras la particula P se desplasa por la trayectoria circular, su vector posicion es (r) se desplasa angulos centrales ( ∆θ)

Parámetros angulares

Posición angular, ∆α
Es el angulo θ que existe entre el vector posicio de la particula y un eje de referencia, que generalmente es x.
El angulo θ, comunmente se expresa en radianes,

recordando que:

180 = π rad

Todo angulo medio en grados se puede combertir en radianes multiplicando el numero de grados por π/180.

Todo angulo medido en radianes se puede convertir en grados multiplicando el numero de radianes por 180/π.

Desplazamiento angular, ∆r

Es la variacion neta de la posicion angular de una particula respecto de un sistema de referencia.

∆θ=θ-θo

El desplazamiento angular ∆θ se expresa en radianes.

Velocidad angular Media. Es la razon entre el desplazamiento angular efectuado por la particula y el tiempo invertido en dicho desplazamiento .

Cuando la velocidad angular varia uniformemente la Wm es igual a la semi suma de la velocidades inicil y final

La velocidad angular W se expresa en rad/s, pero en algunos casos es mas comodo utilizar RPM= rev/min, teniendo en cuenta que

Aceleración angular. es la razon entre la variacion de la velocidad angular que experimenta una particula y el intervalo de tiempo en que se produjo.

La aceleracion angular a se expresa en (rad/s)/s=(rad/s2)

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME(MCU): Es el de una partícula cuya velocidad angular (W) es constante:

El desplazamiento angular es ∆θ = W.∆t La posicion angular final es θ= θo + W.∆t

En el MCU la particula recorre arcos iguales en tiempos iguales, lo que significa que todas las vueltas seran recorridas en tiempos iguales.

Periodo (T). Es el tiempo empledo en recorrer una vuelta completa.

El periodo se expresa en unidades de tiempo generalmente en segundos.

Frecuencia (f). Es el numero de revoluciones por unidad de tiempo.

La frecuencia se expresa en ( s"-1) o hertz

La distancia (d). Que recorre una particula en MCU es la longitud de un arco que se determina por

siempre que ∆θ se mide en radianes.

Dividiendo la ecuacion anterior por ∆t tenemos

Como en el MCU la velocidad angular (w) es contante,tambien la rapidez V (Modulo de la velocidad) es constante, lo lo que hace que no se genere una aceleracion tangencia. Pero la variacion continua de la velocidad en direccion, genera una aceleracion centripeta o normal, que es igual a la aceleracion total

El modulo de esa aceleracion es constante e igual a

La direccion de la aceleracion es hacia el centro de la trayectoria, opueta a la del radio y perpendicular a la velocidad del movimiento.

Características del Movimiento Circular Uniforme (M.C.U.)

Algunas de las principales características del movimiento circular uniforme (m.c.u.) son las siguientes:

La velocidad angular es constante (ω = cte)

El vector velocidad es tangente en cada punto a la trayectoria y su sentido es el del movimiento. Esto implica que el movimiento cuenta con aceleración normal
Tanto la aceleración angular (α) como la aceleración tangencial (at) son nulas, ya que la rapidez o celeridad (módulo del vector velocidad) es constante

Existe un periodo (T), que es el tiempo que el cuerpo emplea en dar una vuelta completa. Esto implica que las características del movimiento son las mismas cada T segundos. La expresión para el cálculo del periodo es T=2π/ω y es sólo válida en el caso de los movimientos circulares uniformes (m.c.u.)

Existe una frecuencia (f), que es el número de vueltas que da el cuerpo en un segundo. Su valor es el inverso del periodo.

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO (M.C.U.V)

En MCUV el móvil se desplaza sobre una circunferencia variando el módulo tanto de su velocidad angular como tangencial continuamente. Existen una aceleración tangencial y una aceleración angular, que modifican a las velocidades correspondientes.

Es el de una partícula cuya aceleración es constante.

Si igualamos:

Si igualamos nuevamente

En estas ecuaciones, si el movimiento es acelerado, w y a tienen signos iguales (igual sentido de giro). si el movimiento es retardado, w y a tienen signos opuestos.

El MCUV, el vector velocidad varia simultáneamente en modulo, dirección y sentido. Por consiguiente, la aceleración tendrá las componentes tangencial y centrîpeta (normal).

En cualquier instante:
a) el modulo de la aceleración tangencial es:

b) Modulo de la aceleración centripeta:

Dirección de la aceleración centripeta:

De este análisis concluimos que si la aceleración angular es constante, también lo sera el modulo de La aceleración tangencial aT, pero no la aceleración centripeta ac. Por tanto, la aceleración total varia continuamente en modulo y dirección.

La aceleración total es igual a la suma vectorial de sus componentes de acuerdo con:

La aceleración centripeta es perpendicular a la aceleración tangencial, y la magnitud de la aceleración total es:

Existe una semejanza entre los movimientos rectilíneos y circulares.
El siguiente cuadro nos permite observar dicha semejanza que se obtiene correlacionando:

Movimiento

Uniforme

Uniformemente variado

Ejercicios Resueltos:

1._Un carro de juguete que se mueve con rapidez constante completa una vuelta alrededor de una pista circular (una distancia de 200 metros) en 25 seg.

a) Cual es la rapidez promedio?

b) Si la masa del auto es de 1,5 kg. Cuál es la magnitud de la fuerza central que lo mantiene en un círculo?

a) Cual es la rapidez promedio?

b) Si la masa del auto es de 1,5 kg. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza central que lo mantiene en un círculo? L = 200 metros = 2 π r

Despejamos el radio

2._En un ciclotrón (un tipo acelerador de partículas), un deuterón (de masa atómica 2u) alcanza una velocidad final de 10 % de la velocidad de la luz, mientras se mueve en una trayectoria circular de 0,48 metros de radio. El deuterón se mantiene en la trayectoria circular por medio de una fuerza magnética. ¿Qué magnitud de la fuerza se requiere?

Velocidad de la luz = 3 X 108 m/seg

Velocidad del deuterón = 3 X 107 m/seg

Masa deuterón 2u = 2 * 1,661 X 10-27 kg.

Masa deuterón 2u = 3,322 X 10-27 kg.

F = 6,2287 * 10-12 Newton

3._Una patinadora de hielo de 55 kg se mueve a 4 m/seg. Cuando agarra el extremo suelto de una cuerda, el extremo opuesto está amarrado a un poste.

Después se mueve en un círculo de 0,8 m de radio alrededor del poste.

a) Determine la fuerza ejercida por la cuerda sobre sus brazos.

b) Compare esta fuerza con su peso.

a. Determine la fuerza ejercida por la cuerda sobre sus brazos.

T = 1100 Newton

b) Compare esta fuerza con su peso.

4._En el modelo de Bohr del átomo de hidrogeno, la rapidez del electrón es aproximadamente 2,2 * 106 m/seg. Encuentre:

a) La fuerza que actúa sobre el electrón cuando este gira en una órbita circular de 0,53 * 10- 10 metros de radio

b) la aceleración centrípeta del electrón.

Masa = 9,11 * 10- 31 Kg. V = 2,2 * 106 m/seg. r = 0,53 * 10- 10 metros

F = 83,192 * 10- 9 Newton

b) la aceleración centrípeta del electrón.

a = 9,132 * 1022 m/seg2

5._Mientras dos astronautas del Apolo estaban en la superficie de la Luna, un tercer astronauta daba vueltas a su alrededor. Suponga que la órbita es circular y se encuentra a 100 km sobre la superficie de la luna. Si la masa y el radio de la luna son 7,4 x 1022 kg 1,7 x 106 m, respectivamente, determine:

a) La aceleración del astronauta en órbita.

b) Su rapidez orbital

c) El periodo de la órbita.

Datos:

Datos: RE = radio de la luna = 1,7 x 106 metros.

h = La distancia entre el satélite y la superficie de la tierra.

H = 100 km = 0,1 X 106 m

r = RE + h = 1,7 x 106 m + 0,1 X 106 m

r = 1,8 x 106 m

∑ FY = m a como el astronauta se mantiene en órbita circular alrededor de la luna. La fuerza de la gravedad hará las veces de fuerza centrípeta.

m = masa del astronauta

ML = masa de la luna = 7,4 x 1022 kg

G = 6,67 x 10 -11

r = 1,8 x 106 m

∑ FY = m a

Ordenando la ecuación anterior

Cancelando m (masa del astronauta) a ambos lados de la ecuación

a = 1,52 m/seg2

b) Su rapidez orbital

Despejamos la velocidad (rapidez)

V2 = a * r

v = 1654,08 m/seg.

c) El periodo de la órbita.

Despejando el periodo en la ecuación

T = 6837,47 segundos

6._La velocidad de la punta de la manecilla de los minutos en el reloj de un pueblo es 1,75 * 10 -3 m/seg.

a) Cual es la velocidad de la punta de la manecilla de los segundos de la misma longitud?

b) Cual es la aceleración centrípeta de la punta del segundero?

(Tiempo del minutero) = tiempo en seg. Que demora en dar una vuelta completa el minutero al reloj

(Tiempo del minutero) = 60 minutos = 3600 seg.

(Tiempo del segundero) = tiempo en seg.Que demora en dar una vuelta completa el segundero al reloj

(Tiempo del segundero) = 60 seg.

Velocidad del minutero = 1,75 * 10 -3 m/seg.

Radio del minutero = radio del segundero

(Velocidad del minutero) * (Tiempo del minutero) = (Velocidad del segundero) * (tiempo del segundero)

Velocidad del segundero = 0,105 m/seg.

b) Cual es la aceleración centrípeta de la punta del segundero?

Despejamos el radio.

V * t = 2 π r

7._Una moneda situada a 30 cm del centro de una mesa giratoria horizontal que está en rotación se desliza cuando su velocidad es 50 cm/seg.

a) Que origina la fuerza central cuando la moneda esta estacionaria en relación con la mesa giratoria?

b) Cual es el coeficiente de fricción estático entre la moneda y la mesa giratoria?

∑ FY = 0

N – m g = 0

N = m g

FR = μ N = μ m g

FR = μ m

μ = 0,085

8._Un automóvil que viaja inicialmente hacia el ESTE vira hacia el NORTE en una trayectoria circular con rapidez uniforme como se muestra en la figura p6-12. La longitud del arco ABC es 235 metros y el carro completa la vuelta en 36 seg.

a) Cual es la aceleración cuando el carro se encuentra en B localizado a un ángulo de 350. Exprese su respuesta en función de los vectores unitarios i y j.

Determine
b) la rapidez promedio del automóvil

c) Su aceleración promedio durante el intervalo de 36 seg

b) la rapidez promedio del automóvil

Longitud del arco total = 2 p r

Longitud de un cuarto de cuadrante = 2 p r/ 4 = p r/ 2
2 * long. De un cuarto de cuadrante = p r

a) Cual es la aceleración

ax = - a sen 35 i = - 0,28476 sen35 i = - 0,28476 * ‘0,5735 i = - 0,163 i

ay = - a cos 35 j = - 0,28476 sen35 j = - 0,28476 * ‘0,8191 j = - 0,233 j

c) Su aceleración promedio

ax = - a sen 35 i = - 0,28476 sen35 i = - 0,28476 * ‘0,5735 i = - 0,163 i

ay = - a cos 35 j = - 0,28476 sen35 j = - 0,28476 * ‘0,8191 j = - 0,233 j

VF = V0 + at

VF - V0 = at

9._Considere un péndulo cónico con una plomada de 80 kg. en un alambre de 10 metros formando un ángulo de u = 50 con la vertical (figura 6.13). Determine

a) Las componentes vertical y horizontal de la fuerza ejercida por el alambre en el péndulo.

b) La aceleración radial de la plomada.

∑ FY = 0

TY – m g = 0

TY = m g = 80 * 9, 8 = 784 Newton

TY = 784 Newton

TY = T cos u

TX = T sen u

TX = 787 sen 5

TX = 68,59 Newton

b) La aceleración radial de la plomada.

∑ FX = m aC

pero: TX = 68,59 Newton

TX = m aC

MOVIMIENTO CIRCULAR NO UNIFORME

10._Un automóvil que viaja sobre un camino recto a 9 m/seg pasa sobre un montecillo en el camino. El montículo puede considerarse como un arco de un círculo de 11 metros de radio.

a) Cual es el peso aparente de una mujer de 600 N en el carro cuando pasa sobre el montecillo?

b) Cual debe ser la rapidez del carro sobre el montecillo si ella no tiene peso en ese momento? (Es decir, su peso aparente es cero).

a) Cual es el peso aparente de una mujer de 600 N en el carro cuando pasa sobre el montecillo?
∑ FY = m a

m g – N = m a

b) Cual debe ser la rapidez del carro sobre el montecillo si ella no tiene peso en ese momento? (Es decir, su peso aparente es cero).

∑ FY = m a

m g – N = m a

b) Cual debe ser la rapidez del carro sobre el montecillo si ella no tiene peso en ese momento? (Es decir, su peso aparente es cero).

∑ FY = m a

m g – N = m a

V2 = g * r

V = 10,38 m/seg.

Ejercicios Propuestos:

Antes de resolver los ejercicios propuestos por favor observe los siguientes vídeos, para que de esta manera entienda los procesos para resolver los ejercicios.

Ejercicio 01

Una partícula da 415 RPM en una circunferencia de 1,2 m de radio. Determinar:
a) Su velocidad angular
b) Su periodo
c) La rapidez de la partícula
d) El modulo de la aceleración centripeta
e) La distancia recorrida en 5 s

Ejercicio 02

Una partícula se mueve en la trayectoria circular de la figura. Si parte del punto A con una rapidez de 36 km/h y, luego de girar un angulo de 11 π/3rad, llega al punto B con una rapidez de 10,8 km/h. Determinar:
a) La velocidad angular inicial y final.
b) La aceleración angular.
c) El tiempo transcurrido.
d) La posición angular final.

Ejercicio 03

Un coche circula a una velocidad de 90 Km/h, si el radio de las ruedas del coche es de 30 cm calcular a) Su velocidad lineal en m/s.

b) La velocidad angular de las ruedas en rad /s y r.p.m

Ejercicio 04

La rueda de una bicicleta tiene 30 cm de radio y gira uniformemente a razón de 25 vueltas por minuto. Calcula:
a) La velocidad angular, en rad/s.
b) La velocidad lineal de un punto de la periferia de la rueda.
c) Angulo girado por la rueda en 30 segundos
d) Número de vueltas en ese tiempo

Ejercicio 05

Un satélite describe un movimiento circular uniforme alrededor de la Tierra. Si su

velocidad angular es de 0,5 vueltas por hora, calcula el número de vueltas que da en un día.

Ejercicio 06

Un ciclista recorre 5,4 km en 15 min a velocidad constante. Si el diámetro de las ruedas de su bicicleta es de 80 cm, calcula:
a) la velocidad angular de las ruedas.
b) el número de vueltas que dan las ruedas en ese tiempo.

Ejercicio 07

Una noria de 40 m de diámetro gira con una velocidad angular constante de 0,125 rad/s. Calcular:

a) La distancia recorrida por un punto de la periferia en 1 min;
b) El número de vueltas que da la noria en ese tiempo.
c) Su periodo
d) su frecuencia

Ejercicio 08

Las aspas de un ventilador giran uniformemente a razón de 90 vueltas por minuto.

Determina:
a) su velocidad angular, en rad/s;
b) el número de vueltas que darán las aspas en 5 min.
c) Su periodo
d) su frecuencia

Ejercicio 09

Un tren eléctrico de juguete da vueltas en una pista circular de 2m de radio, con una velocidad constante de 4 m/s. ¿Tiene aceleración? ¿Cuánto vale?

Ejercicio 10

Calcular la aceleración normal de un coche que circula con una velocidad de 90 Km/h por una curva de radio 80 m.

Bibliografía

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/circular/circular.htm

http://armandofisica.blogspot.com/2008/05/desplazamiento-angular.html

https://www.fisicalab.com/apartado/caracteristicas-mcu#contenidos

http://www.natureduca.com/fis_estumov_movicirc05.php